Évaluation des actifs

Sommaire

Introduction
Création de la base
Calcul de rendements, statistiques usuelles et performance des titres
Théorie moderne de portefeuille
Conclusion

Introduction

Dans ce dossier nous allons étudier 6 fonds indiciels que sont : le S&P500, l’indice boursier européen, les fonds de marchés émergents, les fonds d’obligations à long et à court terme, et l’indice boursier du Pacifique. Nous commencerons l’analyse par les calculs de rendements, de statistiques et de performance des titres, puis nous verrons la théorie moderne de portefeuille dans une deuxième partie. Les valeurs des indices sont récoltées quotidiennement du 1er décembre 2018 au 30 novembre 2019 sur le site de Yahoo Finance.

1- Création de la base

Avant toute opération nous appelons les librairies nécessaires à l’analyse :

library(dplyr)
library(questionr)
library(data.table)
library(scales)
library(ggplot2)
library(tseries)
library(RColorBrewer)
library(moments)
library(PerformanceAnalytics)
library(corrplot)
library(zoo)
library(ggplot2) 
library(scales) 
library(ggrepel) 
library(extrafont);loadfonts()

Nous commencons par importer les 6 fonds :

VFINX <- read.csv("VFINX.csv")
VEURX <- read.csv("VEURX.csv")
VEIEX <- read.csv("VEIEX.csv")
VBLTX <- read.csv("VBLTX.csv")
VBISX <- read.csv("VBISX.csv")
VPACX <- read.csv("VPACX.csv")

Puis nous les combinons en une seule base :

base <- left_join(VFINX,VEURX, by="Date")
base <- left_join(base,VEIEX, by="Date")
base <- left_join(base,VBLTX, by="Date")
base <- left_join(base,VBISX, by="Date")
base <- left_join(base,VPACX, by="Date")

Pour chaque indice, nous ne gardons que les colonnes “Adj.close” qui nous serviront pour les calculs :

base <- base [, c("Date", "Adj.Close.x", "Adj.Close.y", "Adj.Close.x.x", "Adj.Close.y.y", "Adj.Close.x.x.x", "Adj.Close.y.y.y")]

Enfin nous renommons les colonnes “Adj.close” par le nom de l’indice :

names(base)
## [1] "Date"            "Adj.Close.x"     "Adj.Close.y"     "Adj.Close.x.x"  
## [5] "Adj.Close.y.y"   "Adj.Close.x.x.x" "Adj.Close.y.y.y"
base <-rename.variable(base,"Adj.Close.x","VFINX")
base <-rename.variable(base,"Adj.Close.y","VEURX")
base <-rename.variable(base,"Adj.Close.x.x","VEIEX")
base <-rename.variable(base,"Adj.Close.y.y","VBLTX")
base <-rename.variable(base,"Adj.Close.x.x.x","VBISX")
base <-rename.variable(base,"Adj.Close.y.y.y","VPACX")
names(base)
## [1] "Date"  "VFINX" "VEURX" "VEIEX" "VBLTX" "VBISX" "VPACX"

Finalement nous vérifions la nature des variables :

str(base)
## 'data.frame':    251 obs. of  7 variables:
##  $ Date : chr  "2018-11-30" "2018-12-03" "2018-12-04" "2018-12-06" ...
##  $ VFINX: num  251 254 245 245 239 ...
##  $ VEURX: num  26.7 27 26.5 26 25.8 ...
##  $ VEIEX: num  24.4 24.8 24.5 24.2 23.9 ...
##  $ VBLTX: num  12.4 12.5 12.6 12.6 12.6 ...
##  $ VBISX: num  10 10 10 10 10 ...
##  $ VPACX: num  12.2 12.3 12 11.9 11.8 ...
base$Date <- as.Date(base$Date)
dim(base)
## [1] 251   7

Notre base est donc créée, elle est composée de 251 lignes qui correspondent aux valeurs des indices sur la période du 1er décembre 2018 au 30 novembre 2019, et de 7 colonnes : la date, suivie des 6 indices. Tous les indices sont composés de 251 périodes sauf l’indice “VBLTX” qui en a 238. Ainsi, pour certaines manipulations nous utiliserons une base débarassée des valeurs manquantes, appelée “base1” de dimensions [238:7].

2- Calcul de rendements, statistiques usuelles et performance des titres

1) Calculer et représenter les prix et les rendements de chacun des fonds en fonction du temps. Commentez les résultats.

On commence par calculer les prix indexés de chaque fond pour chacune des 251 ou 238 périodes, qui seront ajoutés dans la base sous forme d’une nouvelle colonne pour chaque prix :

base <- data.table(base)
base[, Prix1 :=VFINX/VFINX[1]]
base[, Prix2 :=VEURX/VEURX[1]]
base[, Prix3 :=VEIEX/VEIEX[1]]
base[, Prix4 :=VBLTX/VBLTX[1]]
base[, Prix5 :=VBISX/VBISX[1]]
base[, Prix6 :=VPACX/VPACX[1]]
round(sapply(base[,8:13],mean, na.rm=TRUE),4)
##  Prix1  Prix2  Prix3  Prix4  Prix5  Prix6 
## 1.0479 1.0579 1.0557 1.1373 1.0344 1.0178

On constate que les prix relatifs évoluent beaucoup, nous supposons donc qu’ils sont très sensibles aux événements extérieurs. Si l’on regarde les prix moyens de chaque fond, on voit qu’ils sont tous supérieurs à 1 - donc en moyenne les prix ont augmenté sur la période. C’est l’indice n°4, c’est à dire, ‘VBLTX’ qui a le prix moyen le plus élevé : en moyenne du 1er décembre 2018 au 12 novembre 2019 les prix de ce fond ont augmenté de 13.73% par rapport au 1er décembre 2018. À contrario l’indice ayant le prix moyen le plus faible est le VPACX pour lequel les prix ont augmetné de seulement 1.78% par rapport au 1er décembre 2018.

On peut maintenant faire de même pour les rendements de chaque fond, aussi appelés ‘retour arithmétique’ :

base[, Rdmts1 := VFINX / shift(VFINX, 1) - 1]
base[, Rdmts2 := VEURX / shift(VEURX, 1) - 1]
base[, Rdmts3 := VEIEX / shift(VEIEX, 1) - 1]
base[, Rdmts4 := VBLTX / shift(VBLTX, 1) - 1]
base[, Rdmts5 := VBISX / shift(VBISX, 1) - 1]
base[, Rdmts6 := VPACX / shift(VPACX, 1) - 1]
round(sapply(base[,14:19],mean, na.rm=TRUE)*100,4)
## Rdmts1 Rdmts2 Rdmts3 Rdmts4 Rdmts5 Rdmts6 
## 0.0636 0.0535 0.0377 0.0840 0.0226 0.0336

Les rendements connaissent eux aussi beaucoup de fluctuations, ils semblent très volatiles. Ils ne sont pas très élevés (variant de 0.023% à 0.084%) mais sont tous positifs. Tout comme pour les prix, le rendement moyen le plus élevé est celui du fond ‘VBLTX’, en revanche le plus faible est ici celui du fond ‘VBISX’ qui s’élève à 0.023%.

On regarde graphiquement l’évolution des prix :

ggplot(base, aes(x = Date, y = Prix1, color = VFINX)) +
  geom_line(cex=1.5) +
  geom_hline(aes(yintercept=1.0479), col="red", cex=1) +
  geom_smooth(se=FALSE, col="black") +
  theme_bw() + ggtitle("Évolution du prix de l'indice VFINX") +
  xlab("Date") + ylab("Prix : base=1 le 30/11/2018") +
  scale_color_continuous(name = "Indice") +
    labs(caption="Prix moyen=1.0479")

ggplot(base, aes(x = Date, y = Prix2, color = VEURX)) +
  geom_line(cex=1.5) +
  geom_hline(aes(yintercept=1.0579), col="red", cex=1) +
  geom_smooth(se=FALSE, col="black") +
  theme_bw() + ggtitle("Évolution du prix de l'indice VEURX") +
  xlab("Date") + ylab("Prix : base=1 le 30/11/2018") +
  scale_color_continuous(name = "Indice") +
    labs(caption="Prix moyen=1.0579")

ggplot(base, aes(x = Date, y = Prix3, color = VEIEX)) +
  geom_line(cex=1.5) +
  geom_hline(aes(yintercept=1.0557), col="red", cex=1) +
  geom_smooth(se=FALSE, col="black") +
  theme_bw() + ggtitle("Évolution du prix de l'indice VEIEX") +
  xlab("Date") + ylab("Prix : base=1 le 30/11/2018") +
  scale_color_continuous(name = "Indice") +
    labs(caption="Prix moyen=1.0557")

ggplot(base, aes(x = Date, y = Prix4, color = VBLTX)) +
  geom_line(cex=1.5) +
  geom_hline(aes(yintercept=1.1373), col="red", cex=1) +
  geom_smooth(se=FALSE, col="black") +
  theme_bw() + ggtitle("Évolution du prix de l'indice VBLTX") +
  xlab("Date") + ylab("Prix : base=1 le 30/11/2018") +
  scale_color_continuous(name = "Indice") +
    labs(caption="Prix moyen=1.1373")

ggplot(base, aes(x = Date, y = Prix5, color = VBISX)) +
  geom_line(cex=1.5) +
  geom_hline(aes(yintercept=1.0344), col="red", cex=1) +
  geom_smooth(se=FALSE, col="black") +
  theme_bw() + ggtitle("Évolution du prix de l'indice VBISX") +
  xlab("Date") + ylab("Prix : base=1 le 30/11/2018") +
  scale_color_continuous(name = "Indice") +
    labs(caption="Prix moyen=1.0344")

ggplot(base, aes(x = Date, y = Prix6, color = VPACX)) +
  geom_line(cex=1.5) +
  geom_hline(aes(yintercept=1.0178), col="red", cex=1) +
  geom_smooth(se=FALSE, col="black") +
  theme_bw() + ggtitle("Évolution du prix de l'indice VPACX") +
  xlab("Date") + ylab("Prix : base=1 le 30/11/2018") +
  scale_color_continuous(name = "Indice") +
    labs(caption="Prix moyen=1.0178")

Nous avons en rouge le prix moyen dont la valeur exacte est donnée en bas à droite du graphique, ainsi que l’allure de l’évolution en noir sur les graphiques. Les courbes d’évolution des prix sont différentes d’un fond à l’autre mais nous pouvons tout de même distinguer 2 groupes :

les fonds VFINX, VEURX, VEIEX et VPACX où les prix basés sur le 1er décembre 2018 chutent fortement dès décembre 2018, puis réaugmentent à partir de janvier 2019 avec 3 baisses en mai, septembre et octobre 2019.
les fonds d’obligations VBLTX et VBISX où les prix croissent avec une courbe presque linéaire jusqu’en octobre 2019 où les prix connaissent une légère baisse.

ggplot(base,aes(x=Date), col())+
  geom_line(aes(y=Prix1),colour="red",lwd=1)+
  geom_line(aes(y=Prix2),colour="blue",lwd=1)+
  geom_line(aes(y=Prix3),colour="green",lwd=1)+
  geom_line(aes(y=Prix4),colour="gold",lwd=1)+
  geom_line(aes(y=Prix5),colour="purple",lwd=1)+
  geom_line(aes(y=Prix6),colour="pink",lwd=1)+
    ggtitle("Evolution des prix des 6 indices")+xlab("Temps")+ylab("Prix : base=1 le 30/11/2018")+ theme(plot.title = element_text(color="black", size=14,face="bold"))

Grâce au graphique ci-dessus on peut voir les 6 prix des fonds sur un même plan qui vient confirmer la classification en 2 sous groupes que nous avions faite juste avant. Il est cependant plus difficile de regrouper les fonds d’obligations (en jaune et violet) car n’étant pas à la même échelle, la tendance n’apparaît pas être la même.

Finalement, nous faisons de même avec l’évolution des rendements de chaque fond :

ggplot(base, aes(x = Date, y = Rdmts1, color = VFINX)) +
  geom_line() +
  geom_hline(aes(yintercept=0.000636), col="red") +
  theme_bw() + ggtitle("Évolution du rendement de l'indice VFINX") +
  xlab("Date") + ylab("Rendement") +
  scale_color_continuous(name = "Indice") +
    labs(caption="Rendement moyen=0,0636%")

ggplot(base, aes(x = Date, y = Rdmts2, color = VEURX)) +
  geom_line() +
  geom_hline(aes(yintercept=0.000535), col="red") +
  theme_bw() + ggtitle("Évolution du rendement de l'indice VEURX") +
  xlab("Date") + ylab("Rendement") +
  scale_color_continuous(name = "Indice") +
    labs(caption="Rendement moyen=0,0535%")

ggplot(base, aes(x = Date, y = Rdmts3, color = VEIEX)) +
  geom_line() +
  geom_hline(aes(yintercept=0.000377), col="red") +
  theme_bw() + ggtitle("Évolution du rendement de l'indice VEIEX") +
  xlab("Date") + ylab("Rendement") +
  scale_color_continuous(name = "Indice") +
    labs(caption="Rendement moyen=0,0377%")

ggplot(base, aes(x = Date, y = Rdmts4, color = VBLTX)) +
  geom_line() +
  theme_bw() + ggtitle("Évolution du rendement de l'indice VBLTX") +
  geom_hline(aes(yintercept=0.00084), col="red") +
  xlab("Date") + ylab("Rendement") +
  scale_color_continuous(name = "Indice") +
    labs(caption="Rendement moyen=0,084%")

ggplot(base, aes(x = Date, y = Rdmts5, color = VBISX)) +
  geom_line() +
  geom_hline(aes(yintercept=0.000226), col="red") +
  theme_bw() + ggtitle("Évolution du rendement de l'indice VBISX") +
  xlab("Date") + ylab("Rendement") +
  scale_color_continuous(name = "Indice") +
    labs(caption="Rendement moyen=0,0226%")

ggplot(base, aes(x = Date, y = Rdmts6, color = VPACX)) +
  geom_line() +
  geom_hline(aes(yintercept=0.000336), col="red") +
  theme_bw() + ggtitle("Évolution du rendement de l'indice VPACX") +
  xlab("Date") + ylab("Rendement") +
  scale_color_continuous(name = "Indice") +
    labs(caption="Rendement moyen=0,0336%")

Ici encore en rouge nous avons le rendement moyen dont la valeur est donnée en bas à droite du graphique. Nous faisons le même constat que lorseque nous regardons la valeur des rendements dans la abse ; ils sont très volatiles. Tous les fonds ont des rendements négatifs à certaines dates, mais les rendements moyens sont eux, positifs. Nous observons un phénomène étrange pour le fond ‘VBISX’ qui a régulièrement des rendements nuls (=0), et pour la plupart compris entre 0.00097 et -0.00097, ce qui donne cette allure en “code barre” à la courbe.

2) Y a-t-il des retours à la moyenne ? Pouvez-vous identifier des événements d’actualité qui pourraient expliquer des valeurs inhabituelles ?

En regardant les graphiques des prix des fonds nous pouvons constater plusieurs retours à la moyenne. Comme dit précedemment nous pouvons identifier 2 groupes selon l’allure de l’évolution des prix. Nous pouvons étudier en détails le fond d’obligation à court terme ‘VBISX’ et le S&P 500 ‘VFINX’.

VFINX : cet indice boursier est basé sur 500 grandes sociétés cotées sur les bourses aux Etats-Unis, il représente 80% du marché américain par sa capitalisation. L’indice connait une tendance générale à la hausse à partir de janvier 2019, après une forte baisse ; mais à quoi peut être dûe cette chute soudaine ? Selon le Stock Trader’s Almanac, le S&P 500 enregistre en moyenne un gain de 1,6% en décembre, ce qui en fait normalement le meilleur mois de l’année, on parle notamment de “rally de Noël”. Seulement, cette année là l’indice a connu son pire mois de décembre depuis la grande dépression de 1931, tout comme le Dow Jones d’ailleurs. Ces baisses soudaines de plusieurs indices phares de Wall Street sont dues aux obsèques nationales de George Bush père pour lesquelles la bourse newyorkaise est restée fermée le mercredi 5 décembre 2018. Cette fermeture a provoqué une baisse des cours, une “rupture” qui a conduit à la clôture soudaine de nombreuses positions sur ces fonds. Puis le fond a repris petit à petit de la valeur, d’où la tendance à la hausse des prix à partir de janvier 2019. Ce constat d’une forte chute en décembre 2018 est visible aussi pour les fonds VEURX, VEIEX et VPACX.
VBISX : On peut voir que le VBISX ainsi que le VBLTX n’ont pas connu cette rupture en décembre 2018, c’est parce qu’il s’agit d’obligations à court et long terme. Une règle d’or dit qu’une mauvaise année pour les actions est un bonne année pour les obligations, nous pouvons vérifier ce dicton en décembre 2018 où les actions sont en chute alors que le prix des obligations augmente fortement. Il passe ainsi de 1 (base 1 le 1er décembre 2018) à 1.011 en un mois et connait ensuite une croissance régulière jusqu’en octobre 2019 où les prix ralentissent puis décroissent légèrement par rapport au 1er décembre 2018.

3) Représentez les boites à moustaches associées à la distribution de chaque fonds. Commentez.

par(mfrow=c(2,3))
boxplot(`base`$`VFINX`, main="VFINX", col="#FFCC00")
boxplot(`base`$`VEURX`, main="VEURX", col="#FF6600")
boxplot(`base`$`VEIEX`, main="VEIEX", col="brown")
boxplot(`base`$`VBLTX`, main="VBLTX", col="#660066")
boxplot(`base`$`VBISX`, main="VBISX", col="#3333CC")
boxplot(`base`$`VPACX`, main="VPACX", col="#009933")

Nous constatons que la moitié des indices possèdent des valeurs atypiques, points qui sont situés en dehors de la boîte :

Le fond VFINX a 4 valeurs atypiques
Le fond VEURX a plus de 10 valeurs atypiques
Le fond VPACS a 2 valeurs atypiques
Les fonds VEIEX, VBLTX et VBISX n’ont aucune valeur atypique

4) Calculer les statistiques descriptives univariées (moyenne, variance, écart-type, asymétrie, kurtosis) pour chaque fonds et commenter les résultats. Quels fonds ont le rendement moyen le plus élevé et le plus faible ? Quels fonds ont l’écart type le plus élevé et le plus faible ? Quelles series semblent les plus et les moins distribués normalement ?

Nous regardons dans un premier temps les statistiques descriptives, moyenne, écart-type, variance, coefficients d’asymétrie et d’applatissement des fonds :

# Statistiques descriptives
summary(base[,2:7])
##      VFINX           VEURX           VEIEX           VBLTX      
##  Min.   :213.8   Min.   :24.80   Min.   :23.13   Min.   :12.37  
##  1st Qu.:254.8   1st Qu.:27.68   1st Qu.:25.13   1st Qu.:13.11  
##  Median :265.3   Median :28.45   Median :25.94   Median :13.83  
##  Mean   :262.8   Mean   :28.24   Mean   :25.80   Mean   :14.06  
##  3rd Qu.:274.4   3rd Qu.:29.14   3rd Qu.:26.63   3rd Qu.:15.15  
##  Max.   :291.9   Max.   :30.44   Max.   :27.37   Max.   :15.83  
##                                                  NA's   :13     
##      VBISX           VPACX      
##  Min.   :10.00   Min.   :11.02  
##  1st Qu.:10.17   1st Qu.:12.08  
##  Median :10.40   Median :12.40  
##  Mean   :10.34   Mean   :12.37  
##  3rd Qu.:10.53   3rd Qu.:12.62  
##  Max.   :10.60   Max.   :13.31  
## 
# Moyenne
round(sapply(base[,2:7],mean, na.rm=TRUE),4)
##    VFINX    VEURX    VEIEX    VBLTX    VBISX    VPACX 
## 262.7904  28.2394  25.8010  14.0637  10.3441  12.3673
# Variance
round(sapply(base[,2:7],var, na.rm=TRUE),4)
##    VFINX    VEURX    VEIEX    VBLTX    VBISX    VPACX 
## 242.8949   1.5977   0.9635   1.0332   0.0329   0.1840
# Écart-type
round(sapply(base[,2:7],sd, na.rm=TRUE),4)
##   VFINX   VEURX   VEIEX   VBLTX   VBISX   VPACX 
## 15.5851  1.2640  0.9816  1.0165  0.1813  0.4290
# Skewness
round(sapply(base[,2:7],skewness, na.rm=TRUE),4)
##   VFINX   VEURX   VEIEX   VBLTX   VBISX   VPACX 
## -0.6736 -0.6823 -0.6223  0.2233 -0.2381 -0.1720
# Kurtosis
round(sapply(base[,2:7],kurtosis, na.rm=TRUE),4)
##   VFINX   VEURX   VEIEX   VBLTX   VBISX   VPACX 
##  0.1095  0.0617 -0.2437 -1.3525 -1.3451  0.3205

On constate dans un premier temps que toutes nos variables (les 6 fonds) sont homogènes puisque les écart-types sont tous inférieurs aux moyennes, sinon, on aurait parlé d’hétérogénéité. Cela se confirme par le fait que la médiane soit relativement proche de la moyenne. De plus, on peut noter que l’étendue (écart entre les valeurs minimales et maximales pour une variable donnée) est particulièrement faible pour les fonds VEIEX, VBLTX et VBISX pour lesquels il n’y avait pas de valaurs atypiques, ce constat est donc confirmé par les boîtes à moustache. Nous pouvons à présent nous interesser à la disribution des variables en regardant la skewness et la kurtosis : ces coefficients donnent une indication sur l’aplatissement et la symétrie de la distribution des variables. La loi normale se caractérise par un coefficient d’aplatissement et d’asymétrie égal à zéro. S’ils sont différents de zéro il y a 2 situations possibles pour chaque coefficient :

skewness positif : asymétrie à gauche, et skewness négatif : asymétrie à droite
kurtosis positif : la distribution sera moins aplatie que la dist normale théorique, et s’il est négatif : la distribution sera plus aplatie

En terme d’asymétrie, le fond s’approchant le plus d’une loi normale est VPACX qui a une asymétrie à droite (skewness=-0.172) et celui qui s’en approche le moins est VEURX (skewness=0.682). En terme d’aplatissement c’est VFINX cette fois qui s’apparente le plus à la loi normale avec une courbe moins aplatie (kurtosis=0.11), et la séris qui s’en approche le moins est VBLTX (kurtosis=-1.345).

Nous pouvons regarder la distribution des fonds graphiquement grâce aux histogrammes de distribution :

par(mfrow=c(2,3))
hist(base$VFINX, main="Histogramme VFINX", xlab="VFINX", ylab="Fréquences", col=brewer.pal(n = 9, name = "Greens"))
hist(base$VEURX, main="Histogramme VEURX", xlab="VEURX", ylab="Fréquences", col=brewer.pal(n = 12, name = "PuRd"))
hist(base$VEIEX, main="Histogramme VEIEX", xlab="VEIEX", ylab="Fréquences", col=brewer.pal(n = 9, name = "Purples"))
hist(base$VBLTX, main="Histogramme VBLTX", xlab="VBLTX", ylab="Fréquences", col=brewer.pal(n = 9, name = "Reds"))
hist(base$VBISX, main="Histogramme VBISX", xlab="VBISX", ylab="Fréquences", col=brewer.pal(n = 8, name = "Greys"))
hist(base$VPACX, main="Histogramme VPACX", xlab="VPACX", ylab="Fréquences", col=brewer.pal(n = 9, name = "Blues"))

Si l’on regarde les rendements moyens des 6 fonds en question n°1, on voit que le fond avec le rendement le plus élevé est VBLTX alors que celui avec le rendement le plus bas est VBISX. Concernant l’écart-type c’est VFINX qui a le risque le plus élevé et VBISX le plus bas.

5) En utilisant un taux mensuel sans risque égal à 0,0004167 par mois (ce qui correspond à un taux annuel composé en continu de 0,5%), calculer le ratio de Sharpe pour chaque actif.

is.xts(base)
## [1] FALSE
base <- as.xts(base)
round(SharpeRatio(base[,1:6], Rf=.0004167, FUN="StdDev"),3)
##                                VFINX  VEURX  VEIEX  VBLTX  VBISX  VPACX
## StdDev Sharpe (Rf=0%, p=95%): 16.862 22.341 26.285 13.835 57.044 28.827

Le ratio de Sharpe permet de mesurer la rentabilité d’un portefeuille en fonction du risque pris. On cherchera donc le portefeuille avec le risque le plus faible pour un rendement maximal. On constate ainsi que les ratios de Sharpe sont compris entre 0 et 100%, cela signifie que l’excédent de rendement par rapport au taux sans risque est plus faible que le risque pris en lui-même. Le ratio le plus grand est celui de la série ‘VBISX’ qui s’élève à 57.04%, et le plus petit est celui de la série ‘VBLTX’ qui est de 13.84%.

6) Déterminez la matrice de variances-covariances des rendements de vos six actifs et commenter.

# Suppression des valeurs manquantes
base1 <- na.omit(base)
# Matrice de variances, covariances
cov(base1[,13:18])
##               Rdmts1        Rdmts2        Rdmts3        Rdmts4
## Rdmts1  9.237020e-05  5.892791e-05  6.055419e-05 -2.262377e-05
## Rdmts2  5.892791e-05  6.327850e-05  5.094628e-05 -1.406860e-05
## Rdmts3  6.055419e-05  5.094628e-05  7.048721e-05 -1.465844e-05
## Rdmts4 -2.262377e-05 -1.406860e-05 -1.465844e-05  3.244421e-05
## Rdmts5 -5.318794e-06 -3.521478e-06 -3.357020e-06  5.637378e-06
## Rdmts6  6.314185e-05  4.905560e-05  5.468600e-05 -1.505639e-05
##               Rdmts5        Rdmts6
## Rdmts1 -5.318794e-06  6.314185e-05
## Rdmts2 -3.521478e-06  4.905560e-05
## Rdmts3 -3.357020e-06  5.468600e-05
## Rdmts4  5.637378e-06 -1.505639e-05
## Rdmts5  1.635370e-06 -3.425192e-06
## Rdmts6 -3.425192e-06  6.040946e-05

La variance la plus faible est celle du fond VBISX, les autres sont plus élevées. Concernant les covariances elles sont aussi relativement faibles ce qui signifie que la variation d’un fond impacte peu celle d’un autre. Certaines sont positives : quand un fond augmente, l’autre augmente aussi (c’est le cas par exemple pour les fonds VFINX et VEURX, VEIEX et VPACS ou encore VEURX et VEIEX). Et d’autres négatives : un fond qui augmente va faire diminuer un autre (c’est le cas pour VFINX et VBISX, VEURX et VBISX ou encore VEIEX et VBLTX).

7) Calculer la matrice de corrélation des rendements de vos six actifs et tracer cette matrice de corrélation à l’aide de la fonction corrplot du package corrplot.

# Matrice de corrélation
cor1 <- cor(base[,13:18], use="complete.obs", method=c("spearman"))
cor1
##            Rdmts1     Rdmts2     Rdmts3     Rdmts4     Rdmts5     Rdmts6
## Rdmts1  1.0000000  0.7515246  0.7249050 -0.3390929 -0.3663049  0.8195352
## Rdmts2  0.7515246  1.0000000  0.7112393 -0.2522580 -0.3031636  0.7693714
## Rdmts3  0.7249050  0.7112393  1.0000000 -0.2260905 -0.2506148  0.8058835
## Rdmts4 -0.3390929 -0.2522580 -0.2260905  1.0000000  0.7227376 -0.2570236
## Rdmts5 -0.3663049 -0.3031636 -0.2506148  0.7227376  1.0000000 -0.2946709
## Rdmts6  0.8195352  0.7693714  0.8058835 -0.2570236 -0.2946709  1.0000000

# Corrplot
par(mfrow=c(1,1))
col <- colorRampPalette(c("#BB4444", "#EE9988", "#FFFFFF", "#77AADD", "#4477AA"))
corrplot(cor1, method="color", col=col(200), 
             type="upper",
             addCoef.col = "black")

# Chart Correlation ; autre méthode
chart.Correlation(base[,13:18], histogram = TRUE)

8) Quels actifs sont les plus fortement corrélés ? Quels sont les moins corrélés ? D’après les valeurs de corrélations estimées, pensez-vous que la diversification réduira le risque avec ces actifs ?

Nous allons à présent analyser la matrice de corrélation en regardant les coefficients, s’ils sont compris entre 0 et 0.5 nous considérons que les variables ne sont pas corrélées, entre 0.5 et 0.6 nous pouvons supposer l’existence d’une corrélation et au delà de 0.5 nous estimons que la corrélation est forte. Au regard de la matrice de corrélation on voit que les actifs les plus corrélés sont VFINX et VPACX qui ont un coefficient de corrélation (CC) de 0.82. Ils sont suivis de près par les actifs VEIEX et VPACX dont le coefficient est de 0.81. Les moins corrélés sont VEIEX et VBLTX qui ont un CC=-0.23.
D’après le MEDAF, la diversification permet de réduire la volatilité du portefeuille tant que les actifs ne sont pas parfaitement corrélés (c’est à dire CC=1). Ici aucune pair d’actif n’est corrélée parfaitement, les corrélations les plus fortes s’élèvent à 0.82, ce qui est suffisant pour diversifier le portefeuille et ainsi réduire le risque.

9) A partir de 6 mesures de performances ajustées au risque, identifier pour chacune d’elle, le titre le plus rentable.

On décide de prendre comme actif de référence “VBISX” qui est le fond d’obligations à long terme, car il est peu corrélé aux autres actifs, qu’il a le risque le plus faible, et qu’il n’a pas de valeurs atypiques :

round(BetaCoVariance(base[,1:6], base[,"VBISX",]),3)
##                         VFINX VEURX VEIEX VBLTX VBISX VPACX
## Beta Covariance: VBISX 73.719  5.03 2.345 5.573     1 1.352
round(CAPM.alpha(base[,1:6], base[, "VBISX",], Rf=0.0004167),3)
##                 VFINX   VEURX VEIEX   VBLTX VBISX  VPACX
## Alpha: VBISX -499.734 -23.794 1.541 -43.517     0 -1.619
round(TreynorRatio(base[,1:6], base[, "VBISX",]),3)
##                      VFINX VEURX VEIEX         VBLTX         VBISX
## Treynor Ratio: VBISX   Inf   Inf   Inf 7.022279e+295 6.140167e+265
##                              VPACX
## Treynor Ratio: VBISX 3.764811e+283
round(SFM.jensenAlpha(base[,1:6], base[, "VBISX",], na.rm=FALSE),3)
##                                VFINX VEURX VEIEX VBLTX          VBISX
## Jensen's Alpha (Risk free = 0)   Inf   Inf   Inf    NA -1.431945e+250
##                                        VPACX
## Jensen's Alpha (Risk free = 0) 5.090559e+283
round(MarketTiming(base[,1:6], base[, "VBISX",], Rf=0.0004167, method="TM"),3)
##                     Alpha     Beta    Gamma
## VFINX to VBISX -12289.884 2358.868 -110.692
## VEURX to VBISX  -1953.962  379.133  -18.121
## VEIEX to VBISX  -2033.507  396.775  -19.106
## VBLTX to VBISX    579.440 -115.220    5.854
## VBISX to VBISX      0.000    1.000    0.000
## VPACX to VBISX   -313.610   61.822   -2.929
round(CoSkewness(base[,1:6], base[, "VBISX",]),5)
##                      VFINX    VEURX    VEIEX    VBLTX    VBISX    VPACX
## Coskewness: VBISX -0.17502 -0.01872 -0.01557 -0.00134 -0.00141 -0.00379

Mesures de risque n°1 ; BetaCoVariance : lorsque l’on prend la série ‘VBISX’ comme référence, c’est le fond VPACX qui apparait comme le plus interessant puisqu’il a le beta, c’est à dire le risque, le plus faible.
Mesures de risque n°2 ; l’alpha du MEDAF (CAPM en anglais) mesure la partie des rendements non attribuables au beta qui sert lui à déterminer la diversification potentielle. Le titre le plus rentable ici est donc ‘VEIEX’ qui est le seul à avoir un alpha positif.
Mesures de risque n°3 ; le ratio de Treynor est similaire au ratio de Sharpe mais il utilise beta comme mesure de volatilité, on préferera donc le fond ayant le ratio le plus élevé. Ici les ratios sont extrèmement élevés, ils sont infinis pour les 3 premiers indices VFINX, VEURX et VEIEX donc ce sont les plus intéressants.
Mesures de risque n°4 ; l’alpha de Jensen correspond au rendement excédentaire ajusté pour le risque systématique, le risque le plus rentable est celui ayant l’apha le plus grand ; ici encore ce sont les 3 premiers fonds.
Mesures de risque n°5 ; market timing modele de Treynor-Mazuy est une extension du MEDAF qui utilise une régression multiple. Le gamma correspond à la valeur du rendement excédentaire au carré. Si son coefficient dans la régression est positif, alors l’équation estimée décrit une ligne de régression croissante et convexe. Le titre le plus rentable est ‘VBLTX’ car il a le gamma le plus élevé (positif) qui traduit la capacité de synchronisation du marché. De plus c’est le seul indice qui a un aplha positif.
Mesures de risque n°6 ; coskewness calcule le coefficient de skewness de 2 actifs (ici c’est ‘VBISX’ l’indice de réference). Le fond qui apparait comme étant le plus rentable est ‘VBLTX’ qui a le coefficient le plus faible, le plus proche de zéro.

3- Théorie moderne de portefeuille

1.a) Calculez le rendement du portefeuille équipondéré composé des 6 fonds, puis en déduire son écart type.

er_1 <- mean(base$Rdmts1, na.rm=TRUE)
er_2 <- mean(base$Rdmts2, na.rm=TRUE)
er_3 <- mean(base$Rdmts3, na.rm=TRUE)
er_4 <- mean(base$Rdmts4, na.rm=TRUE)
er_5 <- mean(base$Rdmts5, na.rm=TRUE)
er_6 <- mean(base$Rdmts6, na.rm=TRUE)
PE <- 1/6*er_1+1/6*er_2+1/6*er_3+1/6*er_4+1/6*er_5+1/6*er_6
round(PE*100,5)
## [1] 0.04918

sd_1 <- sd(base$Rdmts1, na.rm=TRUE)
sd_2 <- sd(base$Rdmts2, na.rm=TRUE)
sd_3 <- sd(base$Rdmts3, na.rm=TRUE)
sd_4 <- sd(base$Rdmts4, na.rm=TRUE)
sd_5 <- sd(base$Rdmts5, na.rm=TRUE)
sd_6 <- sd(base$Rdmts6, na.rm=TRUE)
SD <- 1/6*sd_1+1/6*sd_2+1/6*sd_3+1/6*sd_4+1/6*sd_5+1/6*sd_6
round(SD,5)
## [1] 0.00668

Notre portefeuille équipondéré, c’est à dire avec un poids de 1/6 pour chaque indice, composé des 6 fonds a un rendement moyen de 0.049%, c’est un tout petit peu moins que le rendement moyen du fond ‘VEURX’. Son écart-type est de 0.0067 ce qui est relativement faible par rapport aux écart-types des fonds, analysés en question 4 - ce portefeuille équipondéré est donc peu risqué.

1.b) Dans un plan moyenne-variance, représentez les 7 séries.

ER <- c(er_1, er_2, er_3, er_4, er_5, er_6)
VAR <- c(sd_1^2, sd_2^2, sd_3^2, sd_4^2, sd_5^2, sd_6^2)
Légende <- c("VFINX",  "VEURX",  "VEIEX",  "VBLTX",  "VBISX",  "VPACX")
ggplot(mapping=aes(VAR,ER*100)) + geom_point(mapping=aes(VAR,ER*100, color=Légende), size=5) + 
  labs(title="Rentabilité esperée et risque d'un portefeuille",
         x="Risque attendu",
         y="Rendement moyen esperé du portefeuille") +
         theme_light()

1.c) Déduisez-en les titres inefficients.

Un portefeuille efficient est celui qui présente le couple risque-rentabilité optimal pour un investisseur. La théorie du portefeuille efficient a été développée par Harry Markowitz dans les années 50 afin d’offrir la rentabilité maximale pour un niveau de risque aussi faible que possible. Ainsi, un titre est dit inefficient s’il est compris dans la zone qui se situe à droite de la frontière d’efficience du portefeuille, comme c’est visible sur le schéma suivant :

On voit donc que 5 indices ont tendance à se retrouver dans la zone d’inefficience ; l’indice qui apparait comme étant le plus intéressant est donc le fond d’obligations à long terme ‘VBLTX’ qui a un rendement moyen esperé largement supérieur aux autres fonds, de plus le risque attendu est relativement faible. Tous les autres titres semblent inefficients puisqu’ils ne se situent pas sur la frontière d’efficience.

2.a) Tracez la frontière efficiente à partir de toutes les combinaisons possibles de ces trois fonds

Pour cette partie nous allons considérer seulement 3 titres : “VFINX”, “VEURX” et “VEIEX”, que l’on notera “x”, “y” et “z”. Pour tracer la frontière efficiente nous commencons par calculer les moyennes, écart-types et covariances des 3 rendements des fonds, puis nous créons les poids que l’on associe à chaque fond et finalement nous traçons tous les portefeuiles possibles en combinant les 3 titres avec leurs poids respectifs.

base1 <- na.omit(base)
base1 <- data.table(base1)
# I) Retour attendu
er_x <- mean(base1$Rdmts1, na.rm=TRUE)
er_y <- mean(base1$Rdmts2, na.rm=TRUE)
er_z <- mean(base1$Rdmts3, na.rm=TRUE)

# II) Risque
sd_x <- sd(base1$Rdmts1, na.rm=TRUE)
sd_y <- sd(base1$Rdmts2, na.rm=TRUE)
sd_z <- sd(base1$Rdmts3, na.rm=TRUE)

# III) Covariance
cov_xy <- cov(base1$Rdmts1, base1$Rdmts2)
cov_xz <- cov(base1$Rdmts1, base1$Rdmts3)
cov_yz <- cov(base1$Rdmts2, base1$Rdmts3)

# On créé des poids pour tous les portefeuilles possibles
x_weights <- seq(from = 0, to = 1, length.out = 1000)

# Puis on créé un tableau qui regroupe les poids 
Poids <- data.table(wx = rep(x_weights, each = length(x_weights)),
                           wy = rep(x_weights, length(x_weights)))
Poids[, wz := 1 - wx - wy]

# On calcule les risque et rendements des 1000 portefeuilles possibles 
Poids[, ':=' (er_p = wx * er_x + wy * er_y + wz * er_z,
                     sd_p = sqrt(wx^2 * sd_x^2 +
                                   wy^2 * sd_y^2 +
                                   wz^2 * sd_z^2 +
                                   2 * wx * wy * cov_xy +
                                   2 * wx * wz * cov_xz +
                                   2 * wy * wz * cov_yz))]

# On fait attention à ne garder que les poids positifs
Poids <- Poids[wx >= 0 & wy >= 0 & wz >= 0]

# Finalement on plot les valeurs
ggplot() +
  geom_point(data = Poids, aes(x = sd_p, y = er_p, color = wx - wz)) +
  geom_point(data = data.table(sd = c(sd_x, sd_y, sd_z), mean = c(er_x, er_y, er_z)),
             aes(x = sd, y = mean), color = "red", size = 3, shape = 18) +
  theme_bw() + ggtitle("Portefeuilles possibles avec 3 titres") +
  xlab("Risque") + ylab("Retour attendu") +
  scale_y_continuous(label = percent, limits = NULL) +
  scale_x_continuous(limits = NULL) +
  scale_color_gradientn(colors = c("red", "blue", "yellow"),
                        name = expression(omega[x] - omega[z]), labels = percent)

On voit que toutes les combinaisons de portefeuilles ont un rendement espéré compris entre 0.0438% (qui est le retour du fond ‘VEIEX’) et 0.0592% (qui est celui du fond ‘VFINX’). La distribution des portefeuilles forme une banane bornée par les fonds ‘VFINX’ et ‘VEIEX’ en terme de rendement, et avec des volatilités allant de 0.75 environ à celle du fond ‘VFINX’ qui est de 0.0096.

On va maintenant tracer la frontière d’efficience :

#Frontière d'efficience sans vente à découvert
calcEFParams1 <- function(rets) {
  
  retbar <- colMeans(rets, na.rm = T)
  covs <- var(rets, na.rm = T)
  invS <- solve(covs)
  i <- matrix(1, nrow = length(retbar))
  
  alpha <- t(i) %*% invS %*% i
  beta <- t(i) %*% invS %*% retbar
  gamma <- t(retbar) %*% invS %*% retbar
  delta <- alpha * gamma - beta * beta
  
  retlist <- list(alpha = as.numeric(alpha),
                  beta = as.numeric(beta),
                  gamma = as.numeric(gamma),
                  delta = as.numeric(delta))
  
  return(retlist)
}

## On applique le calcEFParams1 à notre jeu de données

   # On créé d'abord une nouvelle base ne contenant que les 3 indices qui nous interessent
base2 <- base [, c("Rdmts1",  "Rdmts2",  "Rdmts3")]
base2 <- na.omit(base2)
base2 <- data.table(base2)
abcds <- calcEFParams1(base2)
abcds
## $alpha
## [1] 17729.31
## 
## $beta
## [1] 8.360378
## 
## $gamma
## [1] 0.00567662
## 
## $delta
## [1] 30.74666

calcEFValues <- function(x, base2, upper = T) {
  alpha <- base2$alpha
  beta <- base2$beta
  gamma <- base2$gamma
  delta <- base2$delta
  
  if (upper) {
    retval <- beta / alpha + sqrt((beta / alpha) ^ 2 - (gamma - delta * x ^ 2) / (alpha))
  } else {
    retval <- beta / alpha - sqrt((beta / alpha) ^ 2 - (gamma - delta * x ^ 2) / (alpha))
  }
  
  return(retval)
}

# On calcule le couple risque-rendement des 3 actifs 
RR <- melt(base2)[, .(er = mean(value),
                         sd = sd(value)), by = variable]

# On sort le graphique 
Actifs <- c("VFINX",  "VEURX",  "VEIEX")

ggplot(RR, mapping=aes(sd,er)) +
  geom_point(mapping=aes(sd,er, color=Actifs), size = 4, shape=19) +
  stat_function(fun = calcEFValues, args = list(base2 = abcds, upper = T), n = 10000,
                color = "grey", size = 1) +
  stat_function(fun = calcEFValues, args = list(base2 = abcds, upper = F), n = 10000,
                color = "grey", size = 1) +
  theme_bw() + ggtitle("Frontière d'efficience") +
  xlab("Risque") + ylab("Rendements attendus") +
  scale_y_continuous(label = percent, limits = NULL) +
  scale_x_continuous(limits = c(0.0075,0.01))

On voit donc que les titres ‘VEURX’, ‘VEIEX’ et ‘VFINX’ sont situés dans la zone d’inefficience, c’est à dire à droite de la frontière d’efficience. Le portefeuille qui s’en rapproche le plus est l’indice boursier européen ‘VEURX’.

2.b) Déterminez le portefeuille de variance minimale et calculer le rendement attendu et l’écart-type de ce portefeuille. Y a-t-il des pondérations négatives dans le portefeuille de variance minimale?

On peut à présent déterminer le portefeuille de variance minimale (PVM), sur la frontière d’efficience qui donne tous les portefeuilles possibles en variant les poids, c’est donc le portefeuille le moins risqué. Sur le graphique précedent il se serait trouvé approximativement à la jonction entre les courbes du haut et du bas de la frontière d’efficience.

# Création des objets nécéssaires pour trouver le PVM
  # Covariances
cov.mat <- cov(base2)
  # Rendements moyens
er <- c(er_x, er_y, er_z)
  # Ecarts types moyens
sd.vec <- c(sd_x, sd_y, sd_z)
  # Poids
x.msft = runif(100, min=-1.5, max=1.5)
x.nord = runif(100, min=-1.5, max=1.5)
x.sbux = 1 - x.msft - x.nord

# Calcul du portefeuille de variance minimale
getMinVariancePortfolio <- function(er,cov.mat,Actifs) {
  U <- rep(1, length(er)) 
  O <- solve(cov.mat)    
  w <- O%*%U /as.numeric(t(U)%*%O%*% U)
  Risk <- sqrt(t(w) %*% cov.mat %*% w)
  ExpReturn <- t(w) %*% er
  Weights <- `names<-`(round(w, 5), Actifs)
  list(Weights = t(Weights),
       ExpReturn = round(as.numeric(ExpReturn), 5),
       Risk = round(as.numeric(Risk), 5))
}
(MVP <- getMinVariancePortfolio(er, cov.mat, Actifs))
## $Weights
##        Rdmts1  Rdmts2  Rdmts3
## [1,] -0.02251 0.63563 0.38688
## 
## $ExpReturn
## [1] 5e-04
## 
## $Risk
## [1] 0.00751

# Représentation graphique du PVM avec les 3 titres et tous les autres portefeuilles possibles
cex.val=1.15
plot(sd.vec, er,  ylim=c(0.0002, 0.0008), xlim=c(0.006, 0.015), ylab="Rendement espéré",
     xlab="Risque", pch=16, col="blue", cex=2.5, main="Portefeuille de variance minimale") 
for (i in 1:length(x.msft)) {
  z.vec = c(x.msft[i], x.nord[i], x.sbux[i])
  mu.p = crossprod(z.vec,er)
  sig.p = sqrt(t(z.vec)%*%cov.mat%*%z.vec)
  points(sig.p, mu.p, pch=16, col="grey", cex=1)
}
text(sd.vec, er, labels=Actifs, pos=4, cex = cex.val)
points(MVP$Risk, MVP$ExpReturn, pch=16, cex=2.5, col="green")
text(MVP$Risk, MVP$ExpReturn, labels="PVM", pos=2.5, cex = cex.val)

# Tableau récapitulatif des risques et rendements associés à chaque titres et au PVM
resultats <- data.frame(Rendements=c(er*100,MVP$ExpReturn*100),  Risque=c(sd.vec,MVP$Risk), row.names = c("VFINX","VEURX","VEIEX","PVM"))
resultats
##       Rendements      Risque
## VFINX 0.05922797 0.009610941
## VEURX 0.05481996 0.007954778
## VEIEX 0.04383130 0.008395666
## PVM   0.05000000 0.007510000

Le PVM a donc un rendement de 0.05% et un écart-type de 0.008. Dans le tableau ci dessus on peut trouver un récapitulatif des rendements et des risque associés à chaque titre, on peut donc comparer ceux du PVM à ces derniers. Il apparait donc que le portefeuille de variance minimale est le moins risqué (logique !), il n’est pourtant pas celui qui a le rendement le plus faible : le fond ‘VEIEX’ a un rendement plus faible puisqu’il est de 0.0438% < 0.05%. On peut voir aussi qu’il y a des pondérations négatives dans le PVM car il est composé de 63.56% de ‘VEURX’, 38.69% de ‘VEIEX’ et -2.25% de ‘VFINX’.

2.c) En prenant pour rendement de l’actif sans risque rf = 2%, déterminez le portefeuille tangent.

# Portefeuille tangent
getTangentPortfolio <- function(er,cov.mat,Actifs,Rf = 0.02/12){
  U <- rep(1, length(er))
  muE <- (er - Rf * U) # excedent de rendement
  O <- solve(cov.mat) # inverse de la matrice
  w <- (O %*% muE)/ as.numeric(t(U)%*%O%*%muE)
  Risk <- sqrt(t(w) %*% cov.mat %*% w)
  ExpReturn <- t(w) %*% er
  Weights <- `names<-`(round(w,5), Actifs)
  list(Weights = t(Weights),
       ExpReturn = as.numeric(ExpReturn),
       Risk = as.numeric(Risk))
}
(GTP <- getTangentPortfolio(er, cov.mat, Actifs))
## $Weights
##        Rdmts1  Rdmts2 Rdmts3
## [1,] -0.16772 0.54691 0.6208
## 
## $ExpReturn
## [1] 0.0004725885
## 
## $Risk
## [1] 0.007613292

# Portefeuille efficient
mu0=0.05
getEfficientPortfolio <- function(er, cov.mat, Actifs, mu0=0.05) {
  U <- rep(1, length(er))
  O <- solve(cov.mat) 
  A <- as.numeric(t(U) %*% O %*% er) 
  B <- as.numeric(t(er) %*% O %*% er)
  C <- as.numeric(t(U) %*% O %*% U)
  D <- B * C - A * A
  E <- O %*% ( - A * U + C * er) / D
  F <- O %*% (B * U - A * er) / D
  w <- E * mu0 + F
  Risk <- sqrt(t(w) %*% cov.mat %*% w) 
  ExpReturn <- t(w) %*% er
  Weights <- `names<-`(round(w,5), Actifs)
  list(Weights = t(Weights),
       ExpReturn = as.numeric(round(ExpReturn,5)),
       Risk = as.numeric(round(Risk,5)))
}
(mu0 <- getEfficientPortfolio(er, cov.mat, Actifs))
## $Weights
##        Rdmts1  Rdmts2    Rdmts3
## [1,] 223.8344 137.402 -360.2364
## 
## $ExpReturn
## [1] 0.05
## 
## $Risk
## [1] 1.92456

# Table récapitulative à laquelle on ajoute les valeurs du portefeuille tangent
resultats <- data.frame(Rendements=c(er*100, MVP$ExpReturn*100, GTP$ExpReturn*100), Risque = c(sd.vec, MVP$Risk, GTP$Risk), row.names = c("VFINX", "VEURX", "VEIEX", "P.VM", "P.tangent"))
resultats
##           Rendements      Risque
## VFINX     0.05922797 0.009610941
## VEURX     0.05481996 0.007954778
## VEIEX     0.04383130 0.008395666
## P.VM      0.05000000 0.007510000
## P.tangent 0.04725885 0.007613292

Un portefeuille tangent est un portefeuille possédant le ratio de Sharpe le plus élevé, dans le cadre du MEDAF, le portefeuille tangent est le portefeuille de marché. C’est le point de tangence entre la frontiere d’efficience et la droite de marché des capitaux ou Capital Market Line (CML), il offre donc le meilleur excédent de rendement par unité de risque, c’est pour cela qu’il est aussi appelé “portefeuille super-efficient”. Dans notre analyse il a un rendement de 0.047% (rendement compris entre celui du fond ‘VEIEX’ et du PVM) pour un risque de 0.0076 (c’est le deuixème risque le plus faible après celui du PVM).
Enfin on peut représenter graphiquement tous ces portefeuilles sur un même graphique qui conclura et résumera cette partie sur la théorie moderne de portefeuille.

# Frontière efficiente
getEfficientFrontier <- function(er, cov.mat, Actifs, Nb = 20){
  mu0 <- seq(getMinVariancePortfolio(er, cov.mat, Actifs)$ExpReturn, 0.08, length.out = Nb)
  ExpReturn <- NULL
  Risk <- NULL
  Weights <- data.frame()
  for (i in 1:Nb) {
    list <- getEfficientPortfolio(er, cov.mat, Actifs, mu0[i])
    ExpReturn <- c(ExpReturn, list$ExpReturn)
    Risk <- c(Risk, list$Risk)
    Weights <- rbind(Weights, list$Weights)
  }
  list(Weights= data.frame(Weights),
       ExpReturn = as.vector(ExpReturn),
       Risk = as.vector(Risk))
}
EFF <- getEfficientFrontier(er, cov.mat, Actifs)

# Capital market line
getCML <- function(er, cov.mat, Actifs, Rf = 0.005) {
mu0 <- seq(Rf,0.08,length.out = 20)
U <- rep(1, length(er))
muE <- (er - Rf * U) # excedent de rendement
mu0E <- (mu0 - Rf) # excedent sur le rendement du portefeuille
O <- solve(cov.mat) # inverse de la matrice
ExpReturn <- NULL
Risk <- NULL
Weights <- data.frame()
 w_r <- sapply(mu0E, function(x, muE, O) {
    x * ((O %*% muE) / as.numeric(t(muE) %*% O %*% muE))
 }, O = O, muE = muE)
 w_f = 1 - colSums(w_r)
 w_r <- `rownames<-`(round(w_r, 5), Actifs)
 Weights = cbind(t(w_r),Rf=w_f)
 ExpReturn = t(w_r) %*% er + w_f * Rf
 Risk = sqrt(diag(t(w_r) %*% cov.mat %*% w_r))
 list(Weights = data.frame(Weights), ExpReturn = as.vector(ExpReturn), Risk = Risk)
}
CML <- getCML(er, cov.mat, Actifs)

####### On plot le tout
data = data.frame(ExpReturn = er*100, Risk = sqrt(diag(cov.mat)))
ExpReturn <- er*100
ExpReturn
## [1] 0.05922797 0.05481996 0.04383130
Risk <- sqrt(diag(cov.mat))
Risk
##      Rdmts1      Rdmts2      Rdmts3 
## 0.009391830 0.007799301 0.008272231

plot <- ggplot(data, mapping=aes(x = Risk, y = ExpReturn)) +
        theme_light() +
        theme(plot.title = element_text( face = "bold"),
         plot.background = element_rect(fill = "white"),
         axis.line.x = element_line(color = "black", size = 1),
         axis.line.y = element_line(color = "black", size = 1)) +
         geom_point(mapping=aes(Risk, ExpReturn, colour = Actifs), size = 2) +
         geom_text_repel(label = Actifs,size = 2.5) +
scale_x_continuous(minor_breaks = seq(0.006, 0.01, 0.005) ,
   limits = c(0.006, 0.01),
   labels = dollar_format(prefix = "")) +
scale_y_continuous(minor_breaks = seq(0.02, 0.7, 0.005) ,
   limits = c(0.04, 0.065),
   labels = dollar_format(suffix = "%", prefix = "")) +
labs(x = "Risque", y ="Retour esperé") +
ggtitle("Graphique récapitulatif des portefeuilles")
plot <- plot + geom_line(data = data.frame(Risk1 = EFF$Risk, ExpReturn1 = EFF$ExpReturn*100), 
               aes(x = Risk1, y = ExpReturn1), colour = "red3", size = 1)
plot <- plot + geom_line(data = data.frame(Risk2 = CML$Risk, ExpReturn2 = CML$ExpReturn*100), 
               aes(x = Risk2, y = ExpReturn2), colour = "darkblue", size = 1)
allPortfolio <- data.frame(ExpReturn = c(MVP$ExpReturn*100, GTP$ExpReturn*100),
                  Risk = c(MVP$Risk, GTP$Risk))
plot <- plot + geom_point(data = allPortfolio, shape = 16,
                colour = "red3", size =2) +
geom_text_repel(data = data.frame(allPortfolio,
   label = c("PVM", "P.tangent")),
    aes(x = Risk, y = ExpReturn, label = label), size = 3)
plot

4- Conclusion

Ainsi au cours de cette analyse nous avons étudié la rentabilité et le risque associés à chaque fond : nous avons vu qu’en regardant un certain nombre de critères (ratio de Sharpe, rendements, prix, risque, alpha, beta etc.) le fond le plus rentable semble être le fond d’obligation à long terme ‘VBLTX’. Les autres fonds ont soit des rendements nettement inférieurs qui les rendent nettement mois attractif, soit des risques plus élevés qui ont le même effet. Dans la deuxième partie nous avons retenu seulement les 3 premiers fonds (VFINX, VEURX et VEIEX) puis nous avons étudier la théorie de portefeuille sur ces derniers. Nous avons ainsi pu trouver le portefeuille de variance minimale ainsi que le portefeuille tangent ; pour ces 2 derniers il y avait des pondérations négatives c’est à dire que le poids d’un fond était négatif dans ces portefeuilles, il s’agit du fond ’VFINX. C’est donc logique puisque ce dernier se situe dans la zone d’inefficience, les portefeuilles tangents et de variance minimale sont efficients puisqu’ils se trouvent sur la frontière d’efficience ; c’est pour cela qu’ils ont une pondération négative du fond VFINX.